Jun 6, 2016

Magie, servicii secrete și aritmetică

Circulă acest test, din care reiese că ultima cifră a numărului dvs de telefon nu e întâmplătoare și, mai mult, conține informații personale neașteptate:

„Scrieți pe o hârtie ultima cifră din numărul dvs de telefon. Înmulțiți cifra cu 2. Produsul obținut adunați-l cu 5. Suma rezultată înmulțiți-o cu 50. Acum adunați 1766. Din rezultatul obținut scădeți anul nașterii dvs. Veți ajunge la un număr din trei cifre. Prima cifră este ultima cifră din numărul de telefon, iar ultimele două cifre formează vârsta dvs. Ce ziceţi?”

Dacă toți cititorii ar avea o educație matematică minimă, așa ceva nu ar mai circula și nu ar mai mira pe nimeni. Este un truc extrem de transparent. Totuși, noi suntem un popor înclinat în același timp spre umanistică și spre iraționalitate (pe care unii o numesc în mod greșit idealism). De aceea, genul acesta de teste nu doar circulă, ci are și efectul de a provoca teorii ale conspirației sau de a confirma teorii mistice.

Cum ar putea simpla matematică să explice felul în care ultima cifră a numărului de telefon (fix sau mobil, indiferent de rețea) să conțină exact vârsta omului din acel moment? Cum de se potrivește la toată lumea?

Atitudinea rațională

Atitudinea mea, în general, față de aceste mirări este aceeași ca în fața superstițiilor care circulau cu mii de ani în urmă printre triburile primitive despre originea lumii. Însă mi-am dat seama, recent, că oameni foarte educați în diverse domenii umaniste, dar fără spirit realist, sunt o pradă mai facilă în fața unor astfel de probleme chiar decât oamenii needucați. Pentru ei, parfumul mistic al problemei e mult mai intens, proporțional cu lecturile și, totodată, se simt apărați de vasta lor cultură de orice tentativă de șarlatanie.

Acești oameni merită o atitudine mai puțin repezită, mai așezată, de asemenea mai plictisitoare. Matematica este mai simplă decât cea din „Cinci pâni”, superba poveste a lui Creangă (dacă n-ați citit-o încă, nu pierdeți vremea cu acest text, căutați-o și citiți-o fără întârziere). Deci, dacă aveți câteva minute...

Un meșteșug intelectual

În problema noastră, e evident, înainte de a ne uita la cifre, că avem de-a face cu un algoritm în care datele de intrare (în cazul nostru, ultima cifră a numărului de telefon) nu au nicio importanță în rezultatul obținut la final. Algoritmul funcționează ca mașina de tocat carne, în care amestecăm niște numere, dar care știe apoi cumva să le și scoată ordonat, fiecare pe găurica lui, lăsând neafectată cifra de la telefon. Nu este niciun serviciu secret implicat, e doar meșteșug. Matematica a fost și ea un meșteșug la un moment dat. Aș îndrăzni să cred chiar că Aristotel nu s-a ocupat de matematică tocmai pentru că o considera un meșteșug mai degrabă decât o știință.

Matematicienii erau cei care căutau rezolvări ale unor probleme practice și, atunci când le găseau, acestea erau formulate ca metode de lucru, așa cum se predau și astăzi în școli. O astfel de metodă trebuia să fie abstractă, deci fără conținut cantitativ, și să consiste dintr-o serie de pași care să poată fi urmați ori de câte ori variabilele problemei se schimbau. Existau, de exemplu, în Antichitate, metode de conversie valutară foarte elaborate, metode de calcul ale suprafețelor și volumelor, metode de ajustare a rezultatelor unor calcule arhitecturale pentru rațiuni estetice și așa mai departe.

Algoritmi

Noi numim astăzi aceste metode algoritmi, de la numele unuia dintre primii clasici ai Islamului, scriitorul și matematicianul Muhammad bin Musa al-Khwarizmi, autorul mai multor lucrări de matematică, printre care și cea care ne-a lăsat denumirea algebrei ca disciplină, „Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala” (se găsesc pe Internet informații pe această temă, să nu credeți că am ținut minte acest titlu, am folosit algoritmul copy-paste). Al-Khwarizmi a făcut cunoscut algoritmul de rezolvare al ecuațiilor de gradul al doilea, adică acele ecuații în care necunoscuta apare sub formă de pătrat.

Din acel moment abia, matematicienii medievali, și mai ales cei renascentiști, au început să vadă meșteșugul matematic și ca desprins de practică. De exemplu, rezolvarea ecuației de gradul al doilea se poate învăța în școala primară. Algoritmul pentru rezolvarea ecuației cubice (cu necunoscuta la puterea a treia) depășește capacitatea unui elev de liceu. El a fost descoperit în prima jumătate a secolului XVI de un contabil venețian, Tartaglia, care, în acest fel, a dobândit o faimă extraordinară. Succesul afacerilor acestor contabili sau ingineri se pare că depindea de algoritmii pe care îi dețineau, în secret. Participau la demonstrații publice pentru a-și arăta măiestria, dar nu dezvăluiau algoritmii. Așa a căpătat și matematica dimensiune de spectacol, sau cel puțin o componentă distractivă, ca numerele de iluzionism de astăzi.

Cum funcționează testul nostru...

În cazul problemei noastre cu ultima cifră a numărului de telefon, algoritmul e dezvăluit, dar rămâne să vedem cum anume și de ce funcționează. În primul rând, alegem o cifră la întâmplare, acesta este primul pas. O dublăm, acesta este pasul al doilea. Apoi adunăm numărul 5 și toată suma obținută o înmulțim cu 50. Dar vă rog să fiți atent ce anume înmulțim cu 50: de două ori cifra inițială plus 5. Atunci când o sumă este înmulțită de un număr de ori, fiecare element al sumei este înmulțit de același număr de ori.

Rezultatul acestei înmulțiri cu 50 va fi așadar de 100 de ori cifra noastră inițială (pe care am înmulțit-o cu 2 la al doilea pas și apoi cu 50) plus încă 250, obținute din înmulțirea acelui 5 de la pasul al treilea cu 50-ul. Pentru a recapitula acești primi 4 pași, am putea nota rezultatul obținut prin formula 100 X + 250, unde X este cifra noastră inițială. Următorul pas este să adunăm 1766. Și vom obține, astfel, de o sută de ori cifra noastră inițială plus 2016.

În acest moment, cred că v-ați dat seama deja cum și de ce funcționează mecanismul: el ascunde, pe de o parte, anul în care ne aflăm (sub forma 250 + 1766) și, pe de altă parte, un număr de forma x00, unde x este orice cifră între 0 și 9 (provenită din înmulțirea cu 2 și apoi cu 50).

Următorul pas este să scădem anul nașterii din suma obținută. Evident că, scăzând anul nașterii din suma care acum are forma 100x + 2016, obținem același 100x + vârsta noastră (anul curent minus anul nașterii). Așadar, dacă numărul nostru (x-ul) este 5 și vârsta este de 66, atunci diferența rămasă va fi de forma 500 + 66. Dacă numărul este 0 și vârsta este 33, atunci diferența va fi 33. Dacă numărul este 9 și vârsta este de 1 an (pentru cineva născut în 2015), atunci diferența rămasă va fi 901.

Avem, prin urmare, aici o formă de matematică distractivă. Cu alte cuvinte, ea distrage atenția amatorului de matematică de la adevăratul șir al calculelor, pe care le acoperă în sume sau le ascunde în diferențe, la fel cum Conan Doyle ascunde de cititor firul raționamentelor lui Sherlock Holmes pentru a produce un soi de literatură distractivă.

...și cât timp va mai funcționa

În vremea Renașterii, din nevoia de a deține algoritmi prin care matematicienii să dobândească prestigiu, se ajunsese atât de departe cu speculația, încât se căuta cu înverșunare soluția ecuațiilor de gradul al patrulea, considerată atunci o culme a măiestriei. Ce bine pentru noi că problemele acestor meșteșugari ai spiritului erau țintite către extinderea cunoașterii, iar nu către taine indisolubile, de genul: spune-mi anul nașterii și eu îți voi afla vârsta în mod miraculos.

Se spune că soluția ecuației de gradul patru a fost găsită de Girolamo Cardano (deși e o discuție interesantă cu privire la acest subiect), același om care a inventat arborele cardan, care face legătura între osii, și același om care a descoperit numerele complexe, care s-au dovedit utile în matematică niște sute de ani mai târziu. De atunci s-a creat convingerea, probabil, că nicio descoperire matematică nu e în zadar, ci că, mai devreme sau mai târziu, orice nouă noțiune sau algoritm își va găsi utilitatea.

În cazul problemei noastre, nu se va întâmpla așa, din mai multe motive. Mai întâi, ea nu va funcționa anul viitor în această formă. Nici măcar anul acesta nu funcționează foarte bine pentru cei care nu au împlinit încă vârsta din 2016. Pe mine, care am ziua de naștere la sfârșit de iunie, algoritmul mă arată cu un an mai în vârstă. Și nu admit vârsta de 40 până când mă mai pot bucura, măcar o zi, de 39.

Dar nu ar trebui să mă plâng: algoritmul nu funcționează nici pentru centenari, cărora nu le-a păstrat decât două cifre pentru vârstă! Dar, să ajungem noi acolo și aia să fie problema... 
There was an error in this gadget